Materi Matematika Trigonometri Kelas 10

Materi Matematika Trigonometri Kelas 10

1. Pengenalan Trigonometri

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga, khususnya segitiga siku-siku. Trigonometri juga berhubungan dengan konsep fungsi trigonometri yang berguna dalam berbagai aplikasi ilmiah dan teknik.

2. Fungsi Trigonometri Dasar

Ada enam fungsi trigonometri dasar yang harus dipahami:

Sine (sin): Fungsi ini menghubungkan sisi yang berhadapan dengan sudut dalam segitiga siku-siku terhadap sisi miring.

sin⁡θ=sisi yang berhadapansisi miring : sisi miringsisi yang berhadapan​

Cosine (cos): Fungsi ini menghubungkan sisi yang berdekatan dengan sudut terhadap sisi miring.

cos⁡θ=sisi yang berdekatansisi miring : sisi miringsisi yang berdekatan​

Tangent (tan): Fungsi ini menghubungkan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

tan⁡θ=sisi yang berhadapansisi yang berdekatan : sisi yang berdekatansisi yang berhadapan​

Cosecant (csc): Fungsi ini adalah kebalikan dari sinus.

csc⁡θ=1:sin⁡θ

Secant (sec): Fungsi ini adalah kebalikan dari kosinus.

sec⁡θ=1:cos⁡θ

Cotangent (cot): Fungsi ini adalah kebalikan dari tangen.

cot⁡θ=1:tan⁡θ

3. Hubungan Antar Fungsi Trigonometri

Beberapa identitas trigonometri penting:

Identitas Pythagoras:

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1

Identitas Tangent dan Secant:

tan⁡2θ+1=sec⁡2θ

Identitas Cotangent dan Cosecant:

1+cot⁡2θ=csc⁡2θ

4. Fungsi Trigonometri dalam Lingkaran Unit

Lingkaran unit adalah lingkaran dengan radius 1 yang pusatnya berada di titik (0, 0) pada sistem koordinat Cartesian. Pada lingkaran unit, jika titik (x,y) adalah titik pada lingkaran, maka:

cos⁡θ=x

sin⁡θ=y

Dan identitas:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1

5. Sudut Khusus

Ada beberapa sudut khusus yang sering digunakan dalam trigonometri, yaitu 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut ini perlu dihafal:

• 0°: sin⁡0°=0, cos⁡0°=1, tan⁡0°=0
• 30°: sin⁡30°=1:2​, cos⁡30°=√3:2, tan⁡30°=1: √3​
• 45°: sin⁡45°=√2:2, cos⁡45°=√2:2, tan⁡45°=1
• 60°: sin⁡60°=√3:2, cos⁡60°=1:2​, tan⁡60°=√3
• 90°: sin⁡90°=1, cos⁡90°=0, tan⁡90° tidak terdefinisi

6. Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri. Contoh:

Menyelesaikan persamaan sederhana seperti sin⁡x=1:2 ​

Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan lebih dari satu fungsi, misalnya sin⁡x+cos⁡x=1

7. Grafik Fungsi Trigonometri

Memahami grafik dari fungsi trigonometri dasar seperti sin, cos, dan tan sangat penting. Grafik-grafik ini memiliki bentuk yang periodik dan masing-masing memiliki frekuensi dan amplitudo tertentu.

Grafik Sinus: Berbentuk gelombang sinusoidal dengan periode 2π dan amplitudo 1.

Grafik Kosinus: Mirip dengan grafik sinus tetapi bergeser 90°.

Grafik Tangen: Memiliki bentuk berulang dengan periode ππ dan asimtot vertikal di π:2+kπ.

8. Aplikasi Trigonometri

Trigonometri digunakan dalam berbagai bidang seperti:

Fisika: Mengukur sudut dan jarak, dalam gelombang, dan harmonik.

Teknik: Desain dan analisis struktur, navigasi, dan pemrograman grafik.

Astronomi: Mengukur jarak dan sudut antar benda langit.

Latihan Soal

• Hitung nilai sin⁡45∘ dan cos⁡45∘.
• Tentukan nilai dari tan⁡30∘ dan cot⁡60∘.
• Selesaikan persamaan trigonometri sin⁡x=√3:2 untuk 0∘≤x<360∘.
• Gambarlah grafik dari fungsi sin⁡x dan cos⁡x dalam interval [0,2π].

Kesimpulan

Memahami dasar-dasar trigonometri dan cara kerja fungsi-fungsinya sangat penting untuk menguasai konsep matematika lebih lanjut serta aplikasi praktis dalam berbagai bidang ilmu.