Materi Matematika Kelas 11: Program Linear
- Pengantar Program Linear
Program Linear adalah cabang matematika yang digunakan untuk mengoptimalkan (memaksimalkan atau meminimalkan) fungsi objektif yang terikat pada sekumpulan kendala yang berbentuk linear. Biasanya digunakan dalam perencanaan dan pengambilan keputusan yang melibatkan alokasi sumber daya yang terbatas.
- Konsep Dasar Program Linear
2.1. Fungsi Objektif
Fungsi objektif adalah fungsi linear yang ingin kita optimalkan (baik memaksimalkan atau meminimalkan). Bentuk umum dari fungsi objektif adalah:
Z=c1x1+c2x2+⋯+cnxn
di mana c1,c2,…,cn adalah koefisien dan x1,x2,…,xn adalah variabel keputusan.
2.2. Kendala (Constraints)
Kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi dan berbentuk linear. Bentuk umum kendala adalah:
a1x1+a2x2+⋯+anxn≤b
atau
a1x1+a2x2+⋯+anxn≥b
atau
a1x1+a2x2+⋯+anxn=b
di mana a1,a2,…,an adalah koefisien dan b adalah batasan.
2.3. Wilayah Feasible
Wilayah feasible adalah daerah pada bidang koordinat yang memenuhi semua kendala. Ini adalah area di mana solusi yang mungkin berada.
2.4. Titik Sudut (Corner Points)
Titik sudut adalah titik-titik di mana garis-garis kendala bertemu. Solusi optimal dari fungsi objektif sering terletak di titik-titik sudut wilayah feasible.
- Langkah-Langkah Penyelesaian Masalah Program Linear
3.1. Menyusun Model Matematika
Tentukan Fungsi Objektif: Identifikasi apa yang ingin dimaksimalkan atau diminimalkan.
Tentukan Kendala: Identifikasi batasan-batasan yang harus dipenuhi.
3.2. Menggambar Wilayah Feasible
Gambar Kendala: Gambar garis-garis yang mewakili kendala pada bidang koordinat.
Tentukan Wilayah Feasible: Tandai area yang memenuhi semua kendala.
3.3. Menentukan Titik Sudut
Identifikasi Titik Sudut: Temukan titik-titik potong antara garis-garis kendala.
Evaluasi Titik Sudut: Substitusi titik-titik sudut ke dalam fungsi objektif untuk menemukan nilai maksimum atau minimum.
3.4. Menyelesaikan Masalah
Jika Memaksimalkan: Pilih titik sudut dengan nilai fungsi objektif tertinggi.
Jika Meminimalkan: Pilih titik sudut dengan nilai fungsi objektif terendah.
- Contoh Penerapan Program Linear
Contoh 1: Masalah Maksimisasi
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis produk, A dan B. Keuntungan per unit untuk produk A adalah $40 dan untuk produk B adalah $30. Pabrik memiliki dua sumber daya dengan kendala berikut:
Sumber daya 1: Masing-masing unit produk A membutuhkan 2 unit, dan produk B membutuhkan 1 unit, dengan total 100 unit tersedia.
Sumber daya 2: Masing-masing unit produk A membutuhkan 1 unit, dan produk B membutuhkan 2 unit, dengan total 80 unit tersedia.
Tentukan jumlah produk A dan B yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan.
Model Matematika:
Fungsi Objektif:
Maksimalkan Z=40A+30B
Kendala:
2A+B≤100 (Sumber daya 1)
A+2B≤80 (Sumber daya 2)
A≥0,B≥0
Langkah Penyelesaian:
Gambar Kendala:
Garis 2A+B=100
Garis A+2B=80
Tentukan Wilayah Feasible:
Identifikasi area yang memenuhi kedua kendala dan batasan non-negatif.
Tentukan Titik Sudut:
Titik potong 2A+B=100 dan A+2B=80 dapat dihitung:
A=20,B=30
Titik potong dengan sumbu x dan y:
(0,100),(50,0),(80,0)
Evaluasi Titik Sudut:
Substitusi titik-titik ke dalam fungsi objektif:
(20,30)→Z=40(20)+30(30)=800+900=1700
Titik (20,30) memberikan keuntungan maksimum $1700.
Contoh 2: Masalah Minimasi
Perusahaan XYZ ingin meminimalkan biaya produksi dengan kendala:
Biaya per unit adalah $50 untuk produk X dan $40 untuk produk Y.
Setiap produk X membutuhkan 3 jam mesin, dan setiap produk Y membutuhkan 2 jam mesin. Total waktu mesin yang tersedia adalah 120 jam.
Tentukan jumlah produk X dan Y yang harus diproduksi untuk meminimalkan biaya.
Model Matematika:
Fungsi Objektif:
Minimalkan Z=50X+40Y
Kendala:
3X+2Y≤120 (Waktu mesin)
X≥0,Y≥0
Langkah Penyelesaian:
Gambar Kendala:
Garis 3X+2Y=120
Tentukan Wilayah Feasible:
Identifikasi area yang memenuhi kendala dan batasan non-negatif.
Tentukan Titik Sudut:
Titik potong garis 3X+2Y=120 dengan sumbu x dan y:
(0,60),(40,0)
Evaluasi Titik Sudut:
Substitusi titik-titik ke dalam fungsi objektif:
(0,60)→Z=50(0)+40(60)=2400
(40,0)→Z=50(40)+40(0)=2000
Titik (40,0) memberikan biaya minimum $2000.
- Kesimpulan
Program Linear adalah alat yang efektif untuk memecahkan masalah optimasi yang melibatkan fungsi objektif dan kendala linear. Dengan menyusun model matematika, menggambar wilayah feasible, dan mengevaluasi titik-titik sudut, kita dapat menemukan solusi optimal untuk berbagai masalah.
Semoga materi ini membantu dalam memahami dan menyelesaikan masalah program linear! Jika ada pertanyaan lebih lanjut atau butuh penjelasan tambahan, jangan ragu untuk bertanya.
