Materi Matematika Kelas 11: Barisan dan Deret
- Pengantar Barisan dan Deret
Barisan dan deret adalah konsep dasar dalam matematika yang berhubungan dengan urutan angka. Barisan adalah sekumpulan angka yang terurut mengikuti suatu pola tertentu, sedangkan deret adalah jumlah dari elemen-elemen barisan.
- Barisan (Sequence)
2.1. Definisi Barisan
Barisan adalah urutan angka yang teratur dan mengikuti aturan tertentu. Barisan biasanya dinyatakan dalam bentuk a1,a2,a3,… atau dengan notasi umum anan, di mana n adalah bilangan bulat positif.
2.2. Jenis-Jenis Barisan
Barisan Aritmetika (Arithmetic Sequence): Barisan di mana perbedaan antara dua suku berturut-turut adalah konstan.
Bentuk umum: an=a1+(n−1)d
Di mana a1 adalah suku pertama, d adalah beda (common difference), dan an adalah suku ke-n.
Contoh: 2,5,8,11,… dengan beda d=3.
Barisan Geometri (Geometric Sequence): Barisan di mana rasio antara dua suku berturut-turut adalah konstan.
Bentuk umum: an=a1⋅r(n−1)
Di mana a1 adalah suku pertama, r adalah rasio (common ratio), dan an adalah suku ke-n.
Contoh: 3,6,12,24,… dengan rasio r=2.
2.3. Contoh Penerapan Barisan
Contoh Barisan Aritmetika: Tentukan suku ke-10 dari barisan 2,5,8,11,…
Jawab: a1=2, d=3
an=a1+(n−1)d
a10=2+(10−1)⋅3=2+27=29
Contoh Barisan Geometri: Tentukan suku ke-4 dari barisan 3,6,12,24,…
Jawab: a1=3, r=2
an=a1⋅r(n−1)
a4=3⋅2(4−1)=3⋅8=24
- Deret (Series)
3.1. Definisi Deret
Deret adalah jumlah dari elemen-elemen barisan. Jika barisan adalah a1,a2,a3,… maka deret adalah Sn=a1+a2+a3+⋯+an, di mana Sn adalah jumlah dari n suku pertama.
3.2. Deret Aritmetika
Jumlah dari nn suku pertama barisan aritmetika dapat dihitung dengan rumus:
Sn=n2⋅(2a1+(n−1)d)
atau
Sn=n2⋅(a1+an)
3.3. Deret Geometri
Jumlah dari n suku pertama barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:
Sn=a11−rn1−r (untuk r≠1)
atau
Sn=a1(rn−1)r−1 (untuk r≠1)
3.4. Contoh Penerapan Deret
Contoh Deret Aritmetika: Hitung jumlah dari 10 suku pertama barisan 2,5,8,11,…
Jawab: a1=2, d=3, n=10
a10=2+(10−1)⋅3=29
S10=10:2⋅(2⋅2+(10−1)⋅3)=5⋅(4+27)=5⋅31=155
Contoh Deret Geometri: Hitung jumlah dari 5 suku pertama barisan 3,6,12,24,…
Jawab: a1=3, r=2, n=5
S5=3(1−25): (1−2)=3(1−320: (−1=3)⋅31=93
- Barisan dan Deret Tak Hingga
4.1. Deret Aritmetika Tak Hingga
Deret aritmetika tak hingga tidak memiliki jumlah akhir yang terbatas karena jarak antar suku bertambah secara linear.
4.2. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga memiliki jumlah terbatas jika rasio rr memenuhi ∣r∣<1. Rumusnya adalah:
S∞=(a1): (1−r)
Contoh Deret Geometri Tak Hingga
Contoh: Hitung jumlah deret geometri tak hingga dengan a1=5 dan r=1:2.
Jawab:
S∞=(5):1−(1:2)=5:1:2=10
- Kesimpulan
Barisan dan deret adalah konsep penting dalam matematika yang melibatkan urutan angka dan jumlah dari angka-angka tersebut. Barisan dapat berupa aritmetika atau geometri, dan deret terkait dengan jumlah elemen-elemen dalam barisan tersebut. Memahami rumus dan aplikasi dasar dari barisan dan deret sangat penting dalam berbagai bidang matematika dan sains.
Semoga materi ini membantu dalam memahami konsep barisan dan deret! Jika ada pertanyaan lebih lanjut atau butuh penjelasan tambahan, jangan ragu untuk bertanya.
