Materi Matematika Kelas 10 : Sistem Persamaan Linear
- Pengertian Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan variabel yang sama. Tujuan dari sistem ini adalah menemukan nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan.
Contoh sistem persamaan linear dengan dua variabel:
{a1x+b1y=c1
{a2x+b2y=c2
- Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
- Metode Substitusi
Isolasi Salah Satu Variabel dari salah satu persamaan.
Substitusi hasil isolasi tersebut ke dalam persamaan lainnya.
Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk menemukan nilai salah satu variabel.
Substitusi nilai variabel yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai variabel yang lainnya.
Contoh:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
{x+y=7
{2x−y=1
Langkah 1: Isolasi variabel y dari persamaan pertama:
y=7−x
Langkah 2: Substitusi ke dalam persamaan kedua:
2x−(7−x)=1
2x−7+x=1
3x−7=1
3x=8
x=8:3
Langkah 3: Substitusi x=8:3 ke dalam y=7−x:
y=7−8:3
y=21:3−8:3
y=13:3
Jadi, solusi dari sistem ini adalah x=8:3 dan y=13:3.
- Metode Eliminasi (Metode Penjumlahan dan Pengurangan)
Atur Persamaan sehingga koefisien salah satu variabel sama (atau saling bertolak belakang).
Jumlahkan atau Kurangkan persamaan untuk mengeliminasi salah satu variabel.
Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk menemukan nilai variabel yang tersisa.
Substitusi nilai variabel yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai variabel lainnya.
Contoh:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
{3x+4y=10
{2x−5y=−1
Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel. Misalnya, kita akan mengeliminasi x. Kalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 3:
{6x+8y=20
{6x−15y=−3
Langkah 2: Kurangkan kedua persamaan:
(6x+8y)−(6x−15y)=20−(−3)
23y=23
y=1
Langkah 3: Substitusi y=1 ke dalam persamaan awal:
3x+4(1)=10
3x+4=10
3x=6
x=2
Jadi, solusi dari sistem ini adalah x=2 dan y=1.
- Metode Matriks (Eliminasi Gauss)
Susun Matriks Augmented dari sistem persamaan.
Gunakan Operasi Baris Elementer untuk mengubah matriks menjadi bentuk eselon baris (Row Echelon Form).
Selesaikan Sistem Persamaan dari bentuk eselon baris.
Contoh:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
{x+2y−z=1
{2x−y+3z=9
{3x+4y+2z=12
Langkah 1: Susun matriks augmented:
[1 2 −1 1 ]
[2−1 3 9 ]
[3 4 2 12]
Langkah 2: Gunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks menjadi bentuk eselon baris.
Contoh bentuk akhir (setelah operasi baris):
[1 2 −1 1]
[0 −5 5 7]
[0 0 0 0 ]
Langkah 3: Selesaikan sistem dari bentuk eselon baris:
x+2y−z=1
−5y+5z=7
y−z=−7:5
Substitusi nilai-nilai ini untuk menemukan nilai x, y, dan z.
- Contoh Soal
Contoh 1
Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode substitusi:
{2x−y=4
{3x+y=10
Jawaban:
Isolasi y dari persamaan pertama:
y=2x−4
Substitusi ke dalam persamaan kedua:
3x+(2x−4)=10
5x−4=10
5x=14
x=14:5
Substitusi x=14:5 ke dalam y=2x−4:
y=2(14:5)−4
y=28:5−4
y=(28−20):5
y=8:5
Contoh 2
Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode eliminasi:
{4x+3y=8
{2x−y=1
Jawaban:
Kalikan persamaan kedua dengan 3:
6x−3y=3
Jumlahkan dengan persamaan pertama:
(4x+3y)+(6x−3y)=8+3
10x=11
x=11:10
Substitusi x=11:10 ke dalam persamaan kedua:
2(11:10)−y=1
22:10−y=1
y=22:10−1
y=(22−10):10
y=12:10=6:5
- Kesimpulan
Metode Substitusi: Cocok untuk sistem dengan sedikit persamaan dan variabel.
Metode Eliminasi: Berguna untuk sistem yang melibatkan dua variabel atau lebih.
Metode Matriks: Efektif untuk sistem persamaan yang lebih kompleks atau dalam jumlah besar.
