Materi Matematika Kelas 10: Relasi dan Fungsi
- Pengenalan Relasi
Relasi adalah hubungan antara dua himpunan. Misalkan terdapat dua himpunan A dan B. Relasi dari A ke B adalah himpunan pasangan terurut yang menghubungkan elemen-elemen dari A ke elemen-elemen dari B.
Definisi Formal: Relasi dari A ke B adalah himpunan pasangan terurut R⊆A×B, di mana A×B adalah produk kartesian dari A dan B.
Contoh: Misalkan A={1,2,3} dan B={a,b}. Relasi R dari A ke B bisa berupa R={(1,a),(2,b),(3,a)}.
- Jenis-Jenis Relasi
Relasi Satu-ke-Satu (Injektif): Relasi R dari A ke B adalah satu-ke-satu jika setiap elemen di A dipetakan ke elemen yang berbeda di B. Tidak ada dua elemen berbeda di A yang dipetakan ke elemen yang sama di B.
Relasi Onto (Surjektif): Relasi R dari A ke B adalah onto jika setiap elemen di B memiliki setidaknya satu pasangan di A. Dengan kata lain, setiap elemen di B dipetakan oleh setidaknya satu elemen di A.
Relasi Satu-ke-Satu dan Onto (Bijektif): Relasi R adalah bijektif jika relasi tersebut adalah injektif dan surjektif. Setiap elemen di A dipetakan ke elemen yang berbeda di B dan setiap elemen di B dipetakan oleh tepat satu elemen di A.
- Fungsi
Fungsi adalah jenis relasi khusus di mana setiap elemen di himpunan awal (domain) dipetakan ke tepat satu elemen di himpunan akhir (kodomain).
Definisi Formal: Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi f⊆A×B di mana setiap elemen a∈A dipetakan ke satu elemen b∈B. Ditulis sebagai f:A→B
Contoh: Misalkan A={1,2,3} dan B={a,b}. Fungsi f dari A ke B bisa berupa f={(1,a),(2,b),(3,a)}.
- Notasi dan Representasi Fungsi
Notasi Fungsi: Jika f adalah fungsi dari A ke B, maka notasi f(x) digunakan untuk menyatakan gambar dari x di bawah fungsi f. Misalnya, jika f:A→B, maka f(x) adalah elemen dari B yang dipetakan oleh x di A.
Representasi Grafik: Fungsi dapat digambarkan dalam bentuk grafik pada sistem koordinat Cartesian. Titik-titik pada grafik mewakili pasangan terurut (x,f(x)).
Tabel: Fungsi juga bisa direpresentasikan dalam bentuk tabel yang menunjukkan input (domain) dan output (kodomain).
Diagram Panah: Diagram panah menunjukkan hubungan antara elemen-elemen domain dan kodomain dengan panah yang menghubungkan elemen-elemen tersebut.
- Jenis-Jenis Fungsi
Fungsi Identitas: Fungsi f dari A ke A yang memetakan setiap elemen ke dirinya sendiri. Ditulis sebagai f(x)=x.
Fungsi Konstanta: Fungsi yang menghasilkan nilai tetap terlepas dari nilai inputnya. Ditulis sebagai f(x)=c, di mana c adalah konstanta.
Fungsi Linear: Fungsi yang berbentuk f(x)=ax+b, di mana a dan b adalah konstanta. Grafiknya adalah garis lurus.
Fungsi Kuadrat: Fungsi berbentuk f(x)=ax2+bx+c, di mana a, b, dan c adalah konstanta. Grafiknya adalah parabola.
Fungsi Eksponen: Fungsi berbentuk f(x)=ax, di mana aa adalah bilangan positif tetap.
Fungsi Logaritma: Fungsi berbentuk f(x)=loga(x), di mana a adalah basis logaritma dan x>0.
- Operasi pada Fungsi
Penjumlahan Fungsi: Jika ff dan gg adalah fungsi, maka fungsi penjumlahan (f+g)(x)=f(x)+g(x).
Pengurangan Fungsi: Fungsi pengurangan (f−g)(x)=f(x)−g(x).
Perkalian Fungsi: Fungsi perkalian (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x).
Pembagian Fungsi: Fungsi pembagian (fg)(x)=f(x):g(x), dengan g(x)≠0.
Komposisi Fungsi: Jika f dan gg adalah fungsi, komposisi (f∘g)(x)=f(g(x)).
- Fungsi Invers
Fungsi invers dari f adalah fungsi yang membalikkan efek fungsi f. Ditulis sebagai f−1. Fungsi ffmemiliki invers jika dan hanya jika f adalah bijektif.
Definisi Formal: Fungsi f:A→B memiliki invers f−1:B→A jika f(f−1(y))=y dan f−1(f(x))=x untuk setiap x∈A dan y∈B.
- Aplikasi Fungsi
Fungsi digunakan dalam berbagai bidang untuk memodelkan hubungan dan menyelesaikan masalah, seperti:
Fisika: Untuk menggambarkan hubungan antara variabel seperti waktu dan posisi.
Ekonomi: Untuk model permintaan dan penawaran.
Teknik: Untuk analisis sistem dan desain kontrol.
Latihan Soal
- Tentukan apakah relasi R={(1,2),(2,3),(3,4)} dari himpunan A={1,2,3} ke himpunan B={2,3,4} adalah injektif, surjektif, atau bijektif.
- Berikan contoh fungsi linear dan gambarlah grafiknya.
- Temukan fungsi invers dari f(x)=2x+3.
- Jika f(x)=x2+1 dan g(x)=2x−5, tentukan (f∘g)(x) dan (g∘f)(x).
- Tabelkan dan gambarkan grafik dari fungsi f(x)=3x−2.
