Materi Matematika Kelas 10 : Persamaan Kuadrat
- Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk umum:
ax2+bx+c=0
di mana aa, b, dan c adalah bilangan real, dan a≠0. Variabel x adalah yang dicari nilainya.
- Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat ditulis dalam beberapa bentuk, termasuk:
- Bentuk Umum
ax2+bx+c=0
- Bentuk Faktorisasi
Jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan, bentuknya adalah:
a(x−x1)(x−x2)=0
di mana x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat.
- Bentuk Lengkap (Standar)
Persamaan kuadrat dalam bentuk ini:
(x−p)2=q
- Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
- Metode Faktorisasi
Faktorkan persamaan kuadrat jika memungkinkan.
Setel faktor masing-masing sama dengan nol untuk menemukan akar-akar persamaan.
Contoh:
Selesaikan x2−5x+6=0.
Faktorisasi:
x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0
Akar-akar:
x−2=0 atau x−3=0
x=2 atau x=3
- Metode Pemfaktoran dengan Formula Kuadrat
Gunakan formula kuadrat:
x=(−b± √b2−4ac): (2a)
Contoh:
Selesaikan 2×2−4x−6=0.
Identifikasi a=2, b=−4, dan c=−6.
Hitung diskriminan:
Δ=b2−4ac=(−4)2−4(2)(−6)=16+48=64
Gunakan formula kuadrat:
x=(−(−4)± √64): 2⋅2
x=4±84
x=12:4=3 atau x=−4:4=−1
- Metode Melengkapi Kuadrat
Susun Persamaan Kuadrat dalam bentuk ax2+bx=−c.
Tambahkan dan kurangi nilai yang diperlukan untuk melengkapi kuadrat di sisi kiri.
Selesaikan persamaan kuadrat yang baru.
Contoh:
Selesaikan x2+6x+5=0 dengan melengkapi kuadrat.
Susun:
x2+6x=−5
Melengkapi kuadrat:
x2+6x+9=−5+9
(x+3)2=4
Akar-akar:
x+3=± √4
x+3=±2
x=−3±2
x=−1 atau x=−5
- Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat
Diskriminan (Δ):
Δ=b2−4ac
Jika Δ>0: Ada dua akar real dan berbeda.
Jika Δ=0: Ada dua akar real dan sama (akar ganda).
Jika Δ<0: Tidak ada akar real (akar kompleks).
Vertex (Puncak): Titik terendah atau tertinggi pada grafik parabola.
xv=−(b): (2a)
yv=c−(b^2): (4a)
Sumbu Simetri: Garis vertikal yang melalui x=−b:2a.
- Grafik Persamaan Kuadrat
Grafik persamaan kuadrat adalah parabola yang:
Memotong sumbu Y di y=c.
Memiliki sumbu simetri di x=−b:2a.
Memiliki bentuk parabola yang membuka ke atas jika a>0 dan membuka ke bawah jika a<0.
Contoh:
Untuk persamaan y=x2−4x+3:
Sumbu Simetri:
x=−(−4): (2⋅1)=2
Vertex:
y=3−((−4)^2): (4⋅1)=3−4=−1
Titik vertex adalah (2,−1).
Grafik: Parabola membuka ke atas dengan puncak di (2,−1) dan memotong sumbu Y di y=3.
- Contoh Soal
Contoh 1
Selesaikan persamaan kuadrat x2+4x−5=0 dengan metode faktorisasi.
Jawaban:
Faktorisasi:
x2+4x−5=(x+5)(x−1)=0
Akar-akar:
x+5=0 atau x−1=0
x=−5 atau x=1
Contoh 2
Tentukan nilai x dari persamaan 3×2−2x−8=0 menggunakan formula kuadrat.
Jawaban:
Identifikasi a=3, b=−2, dan c=−8.
Hitung diskriminan:
Δ=(−2)^2−4⋅3⋅(−8)=4+96=100
Gunakan formula kuadrat:
x=(−(−2)± √100):2⋅3
x=(2±10): 6
x=12:6=2 atau x=−8:6=−4:3
