Materi Matematika kelas 10 : Fungsi Kuadrat
- Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah jenis fungsi polinomial dengan derajat tertinggi 2. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:
f(x)=ax2+bx+c
di mana a, b, dan c adalah bilangan real, dan a≠0. Fungsi ini menghasilkan grafik berupa parabola.
- Bentuk-Bentuk Fungsi Kuadrat
- Bentuk Umum
Fungsi kuadrat dalam bentuk umum adalah:
f(x)=ax2+bx+c
a: Koefisien dari x2, menentukan arah parabola (ke atas jika a>0, ke bawah jika a<0).
b: Koefisien dari x, mempengaruhi kemiringan parabola.
c: Konstanta, mempengaruhi titik potong dengan sumbu Y.
- Bentuk Titik-Puncak (Vertex Form)
Fungsi kuadrat dalam bentuk titik-puncak adalah:
f(x)=a(x−h)2+k
di mana (h,k) adalah titik puncak (vertex) dari parabola.
h: Koordinat X dari vertex.
k: Koordinat Y dari vertex.
- Bentuk Faktorisasi
Jika fungsi kuadrat dapat difaktorkan, bentuknya adalah:
f(x)=a(x−x1)(x−x2)
di mana x1 dan x2 adalah akar-akar dari fungsi kuadrat tersebut.
- Menentukan Titik Puncak (Vertex)
Titik puncak dari fungsi kuadrat f(x)=ax2+bx+c dapat ditemukan dengan:
Koordinat X dari vertex:
xv=−b:2a
Koordinat Y dari vertex:
yv=f(−b:2a)=c−b^2:4a
- Menentukan Akar-Akar Fungsi Kuadrat
Akar-akar (solusi) dari fungsi kuadrat ax2+bx+c=0 dapat ditemukan menggunakan:
Faktorisasi
Formula Kuadrat:
x=(−b± √b2−4ac): (2a)
x=2a−b±b2−4ac
Jika b2−4ac>0: Ada dua akar real dan berbeda.
Jika b2−4ac=0: Ada satu akar real (akar ganda).
Jika b2−4ac<0: Tidak ada akar real (akar kompleks).
- Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat:
Tentukan Titik Puncak:
Hitung koordinat x dan y dari vertex.
Tentukan Titik Potong dengan Sumbu X dan Y:
Titik potong Y: f(0)=c.
Titik potong X: Akar-akar fungsi kuadrat.
Gambar Grafik: Gambarkan parabola yang membuka ke atas jika a>0 atau ke bawah jika a<0, dengan vertex sebagai titik puncak.
- Contoh Soal
Contoh 1
Diberikan fungsi kuadrat f(x)=2×2−4x+1. Tentukan titik puncak dan gambarkan grafiknya.
Jawaban:
Titik Puncak:
Koordinat X dari vertex:
xv=−(−4): (2⋅2)=4:4=1
Koordinat Y dari vertex:
yv=f(1)=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1
Titik puncak: (1,−1).
Titik Potong Y:
f(0)=1.
Titik potong Y: (0,1).
Titik Potong X:
Gunakan formula kuadrat:
x=(−(−4)± √ (−4)2−4⋅2⋅1): (2⋅2)
x=4± √16−8: 4
x=4± √8:4=4±2 √2:4=1± √2:2
Titik potong X: (1+ √2:2,0)dan (1− √2:2,0).
Gambar Grafik:
Gambar parabola dengan vertex di (1,−1), memotong sumbu Y di (0,1), dan memotong sumbu X di dua titik yang telah ditemukan.
Contoh 2
Fungsi kuadrat f(x)=−x2+6x−8 dapat difaktorkan. Faktorkan fungsi ini dan tentukan akar-akarnya.
Jawaban:
Faktorisasi:
Coba faktorisasi dengan menyusun:
−x2+6x−8=−(x2−6x+8)
Faktorisasi x2−6x+8:
x2−6x+8=(x−2)(x−4)
Jadi:
−x2+6x−8=−(x−2)(x−4)
Akar-Akar:
x−2=0 atau x−4=0
Akar-akar: x=2 dan x=4.
- Aplikasi Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat sering digunakan dalam berbagai aplikasi seperti:
Optik: Menghitung lintasan objek yang dilempar.
Ekonomi: Menentukan biaya dan keuntungan maksimum atau minimum.
Fizik: Menggambarkan gerakan objek dalam gaya gravitasi.
- Kesimpulan
Fungsi kuadrat: Bentuk umum f(x)=ax2+bx+c.
Titik Puncak: Titik tertinggi atau terendah dari parabola.
Grafik: Memerlukan titik puncak dan titik potong sumbu X dan Y.
Metode Penyelesaian: Meliputi faktorisasi, formula kuadrat, dan melengkapi kuadrat.
