Materi Matematika Kelas 10: Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
- Fungsi Komposisi
Definisi Fungsi Komposisi:
Fungsi komposisi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi. Misalkan f dan g adalah dua fungsi dengan f:B→C dan g:A→B. Komposisi f dan g, dilambangkan dengan f∘g (dibaca “f komposisi g”), adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan sebagai:
(f∘g)(x)=f(g(x))
Langkah-Langkah untuk Menyusun Fungsi Komposisi:
Tentukan Fungsi: Identifikasi fungsi f dan g.
Evaluasi Fungsi dalam Urutan: Pertama, evaluasi fungsi g untuk mendapatkan hasilnya. Kemudian, substitusi hasil tersebut ke dalam fungsi f.
Contoh:
Misalkan f(x)=2x+1 dan g(x)=x2−3. Temukan (f∘g)(x).
Evaluasi g(x):
g(x)=x2−3
Substitusi g(x) ke dalam f:
f(g(x))=f(x2−3)=2(x2−3)+1=2×2−6+1=2×2−5
Jadi, (f∘g)(x)=2×2−5.
- Fungsi Invers
Definisi Fungsi Invers:
Fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan efek dari fungsi lain. Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi invers f−1 adalah fungsi dari B ke A yang memenuhi:
f(f−1(y))=y dan f−1(f(x))=x
untuk setiap x∈A dan y∈B.
Langkah-Langkah untuk Menentukan Fungsi Invers:
Tulis Fungsi dalam Bentuk Persamaan: Misalkan fungsi f diberikan sebagai y=f(x).
Tukar x dan y: Tukar x dan y dalam persamaan tersebut untuk mendapatkan x dalam bentuk y.
Isolasi y: Selesaikan persamaan untuk yy untuk mendapatkan fungsi invers.
Contoh:
Misalkan f(x)=3x−2. Temukan fungsi invers f−1(x).
Tulis fungsi dalam bentuk persamaan:
y=3x−2
Tukar xx dan yy:
x=3y−2
Isolasi y:
x+2=3y
y=(x+2): (3)
Jadi, fungsi invers f−1(x)=(x+2): (3).
Syarat Fungsi Memiliki Invers:
Fungsi harus bijektif (satu-ke-satu dan onto) untuk memiliki fungsi invers.
Injektif (Satu-ke-Satu): Setiap elemen di domain dipetakan ke elemen yang berbeda di kodomain.
Surjektif (Onto): Setiap elemen di kodomain memiliki pre-image di domain.
- Contoh Lain Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Contoh Fungsi Komposisi:
Misalkan f(x)=x dan g(x)=x2+1. Temukan (f∘g)(x).
Evaluasi g(x):
g(x)=x2+1
Substitusi g(x) ke dalam f:
f(g(x))=f(x2+1)= √x2+1
Jadi, (f∘g)(x)= √x2+1.
Contoh Fungsi Invers:
Misalkan f(x)=2x+4. Temukan inversnya.
Tulis fungsi dalam bentuk persamaan:
y=2x+4
Tukar x dan y:
x=2y+4
Isolasi y:
x−4=2y
y=(x−4): (2)
Jadi, fungsi invers f−1(x)=(x−4): (2).
- Aplikasi Fungsi Komposisi dan Invers
Aplikasi dalam Pemecahan Masalah: Fungsi komposisi sering digunakan dalam model matematis untuk menyusun proses yang terdiri dari beberapa tahap.
Aplikasi dalam Sistem Kontrol: Fungsi invers penting dalam sistem kontrol dan pemrograman untuk membalikkan efek dari operasi sebelumnya.
- Latihan Soal
Jika f(x)=x+5 dan g(x)=2x−3, tentukan (f∘g)(x) dan (g∘f)(x).
Temukan invers dari fungsi f(x)=(3x−7): (2).
Jika f(x)=x3 dan g(x)= √x, hitung (f∘g)(x) dan (g∘f)(x).
Tunjukkan bahwa fungsi f(x)=4x−1 adalah bijektif dan tentukan inversnya.
Gambarkan grafik dari fungsi f(x)=x2 dan f−1(x) jika f didefinisikan pada x≥0.
